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Formule matematiche per prefabbricati: come calcolare i volumi dei fori d’ingorgo dei passo d’uomo.

Pubblicato in:
“Precast Math Tools: How to Calculate Manhole Block-out Volumes,” Precast Inc. (July/August 2012): 30-31.

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Matematica e prefabbricati: il volume dei fori d’ingorgo dei passo d’uomo.

Uno dei calcoli più comuni riguardanti i prefabbricati industriali in cemento é il calcolo del volume circolare del foro d’ingorgo all’interno del muro del passo d’uomo. Un foro d’ingorgo circolare è una bocca fusa o intagliata nelle pareti del passo d’uomo (vedere foto). Esistono, da un punto di vista matematico, diversi metodi per calcolare questo volume, partendo dal semplice volume geometrico, per arrivare al metodo dei calcoli teorici elaborati.

La complessa configurazione del foro d’ingorgo richiede l’uso di formule matematiche complicate oppure, o anche, del CAO in tre dimensioni; queste rappresentano due differenti possibilità per ottenere un calcolo preciso del volume del foro di ingorgo. Anche se dotati di formula matematica o di CAO in tre dimensioni, sarà comunque necessario avere un programma informatico specifico, o un calcolatore, per risolvere gli integrali e calcolare il risultato finale. La parola chiave deve comunque essere “calcolo preciso”.

Un margine di errore del 5% tra la formula del cilindro e il metodo matematico si manifesta una volta che il diametro del foro d’ingorgo raggiunge il 65% del volume interno del passo d’uomo. Il margine di errore continua poi ad aumentare del 9% quando il diametro del foro raggiunge l’85% del diametro interno del passo d’uomo. Questa differenza di volume tra i due metodi è minima se ci si riferisce alla differenza dal punto di vista del peso. L’uso del metodo del cilindro è abbastanza affidabile, quindi, nell’uso del calcolo approssimativo del peso dei fori.
Stacks Image 131
A sinistra: immagine di un passo d'uomo con due grandi fori d'ingorgo fusi all'interno della struttura.
Quando usare la formula del cilindro o il metodo matematico?

La formula del cilindro (π r 2 h), dove r é il raggio del foro d’ingorgo e h è lo spessore della parete, può essere utilizzata per stimare il volume del foro d’ingorgo. La chiameremo la “formula del cilindro” che è abbastanza precisa se avete bisogno di fare un calcolo rapido e facile.

Il “metodo matematico” usa un integrale triplo per calcolare il volume preciso. Il metodo matematico deve usare un software particolare, oppure certi tipi di calcolatori scientifici, per ottenere una risposta numerica. Utilizzando questi strumenti, si può ottenere un’equazione caratteristica a ciascun passo d’uomo secondo le diverse misure dei fori d’ingorgo. Utilizzando queste formule è possibile per chiunque ottenere delle risposte più precise che quelle ricevute con la “formula del cilindro.”

Quando rimuovete o utilizzate un foro d’ingorgo per formare un buco del diametro di 12 pollici in un passo d’uomo di 48 pollici di diametro interno (ID), c’è pochissima differenza tra la formula del cilindro e il metodo matematico a livello del volume. Se, però, portate la misura del foro a 36 pollici di diametro, conservando il passo d’uomo a 48 pollici ID, la differenza del volume tra la formula del cilindro e il metodo matematico cominciano a cambiare in modo rilevante, come mostrano gli esempi che seguono:


Esempio 1
Calcolate il volume di un foro di 12 pollici di diametro che dovrà essere fuso o intagliato in un passo d’uomo da 48 pollici ID con uno spessore della parete di 5 pollici.

Formula del cilindro

Volume =
π r 2 h = (3.1416) (6 pollici)2 (5 pollici) = 565.49 pollici3
Calcolo matematico
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Volume = 569.2 pollici3
Esempio 2
Calcolate il volume di un foro di 36 pollici di diametro che dovrà essere fuso o intagliato in un passo d’uomo da 48 pollici ID con uno spessore della parete di 5 pollici.

Formula del cilindro

Volume =
π r 2 h = (3.1416) (18 pollici)2 (5 pollici) = 5,089.4 pollici3
Calcolo matematico
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Volume = 5,456.64 pollici3
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Esistono poi dei fori d’ingorgo affusolati, e c’è una formula anche per questi; ma c’è un metodo ancor più semplice. Se avete un foro affusolato del diametro da 24 a 26 pollici, scegliete la media dei due, quindi 25 pollici di diametro, in questo caso. L’uso di un diametro medio dà un calcolo di volume approssimativo piuttosto preciso.

Conclusione

Se si paragonano i risultati dei due esempi, si può notare la differenza di volume ottenuta tra il metodo del cilindro e il calcolo matematico. Il metodo del cilindro è, e continuerà ad essere, un metodo abbastanza esatto, veloce e facile per ottenere il volume rapidamente. Detto ciò, bisogna però considerare che la reale differenza di peso tra le due formule potrebbe arrivare fino a 500 kg, se usiamo un passo d’uomo circolare di 8 piedi con due fori d’ingorgo a diametro grande. E’ vero che non c’è una rilevante differenza di peso tra le due formule per quanto riguarda la normale gamma di dimensioni dei fori d’ingorgo sulla maggioranza dei passo d’uomo in produzione.

Per chi desidera calcolare con precisione quanto cemento si ritiri a livello del foro d’ingorgo, la differenza può sembrare più rilevante.

Le equazioni derivate per ciascuna linea di prodotti circolari è elencata sotto. Queste equazioni danno risposte che sono molto vicine in volume, ma non esatte. Giustificano delle risposte che hanno una precisione dell’1% del volume reale. D’altronde, se preferite, potete fare riferimento a una tabella senza preoccuparvi dei calcoli; trovate qui un’immagine di una
tabella precisa che usa il metodo matematico.
Spessore approssimativo delle pareti
48”Ø - 5”

60”Ø - 6”

72”Ø - 7”

84”Ø - 8”

96”Ø - 9”

120”Ø - 11”

144”Ø - 12”
Equazioni di volumi derivati

48ӯ y = 0.0394x
3 + 2.2728x2 + 20.337x - 46.043

60ӯ y = 0.0381x
3 + 2.71x2 + 31.02x - 91.24

72ӯ y = 0.0331x
3 + 3.516x2 + 35.409x - 122.6

84ӯ y = 0.0331x
3 + 3.9561x2 + 49.01x - 202.86

96ӯ y = 0.036x
3 + 4.0295x2 + 76.234x - 379.22

120ӯ y = 0.0329x
3 + 5.2785x2 + 102.99x - 635.59

144ӯ y = 0.0294x
3 + 5.8833x2 + 128.6x - 949.62
Riferimenti citati
Howard, Rebecca (Becky) M., Faculty Emeritus, Roane State Community College (RSCC). 2011