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Outils mathématiques pour préfabriqués: Comment calculer les volumes d’engorgement des regards.

Publié à dans: “Precast Math Tools: How to Calculate Manhole Block-Out Volumes,” Precast Inc. (July/August 2012): 30-31.

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Mathématiques et préfabriqués: Le volume d’engorgement du regard.

Un des calculs habituels relatif aux préfabriqués industriels en béton concerne à déterminer le volume circulaire de l’engorgement dans la paroi du regard. Un engorgement circulaire est une bouche moulée ou découpée dans la paroi du regard
(voir photo). Mathématiquement parlant, il existe plusieurs méthodes pour calculer ce volume, allant de la simple formule géométrique à la méthode de calcul théorique élaborée.

La configuration complexe de l’engorgement demande l’utilisation de formules mathématiques compliquées et/ou de CAO en 3D, qui représentent deux des différentes possibilités de calcul précis du volume d’engorgement. Même équipé d’une formule mathématiques ou du CAO en 3D, un programme informatisé spécialisé, ou un calculateur résolvant les intégrales, sera nécessaire pour calculer le résultat final. Le mot clé dans cette approche est un calcul ‘’précis.’’

Une erreur de 5% entre la formule du cylindre et la méthode de calcul apparait une fois que le diamètre d’engorgement atteint 65% de l’intérieur du diamètre du regard. Ensuite, l’erreur continue à augmenter, jusqu’à plus de 9% quand le diamètre d’engorgement atteint 85% de l’intérieur du diamètre du regard. Cette différence en volume entre les deux méthodes est toutefois minime si l’on se réfère à la différence en poids. La méthode du cylindre reste donc assez fiable pour continuer à utiliser les approximations d’engorgement en se référant au poids.
Stacks Image 131
À gauche : Photo d’un regard avec deux grandes bouches d’engorgement moulées dans la structure.
Quand utiliser le cylindre ou la méthode de calcul?
La formule pour le cylindre (π r 2 h), où r est le rayon de la bouche d’engorgement et h est l’épaisseur de la paroi, peut être utilisée pour estimer le volume d’engorgement. Cette méthode sera appelée la ‘‘méthode du cylindre,’’ et elle est assez précise si vous avez besoin d’un calcul rapide et facile.

La ‘‘méthode de calcul’’ utilise une intégrale triple pour déterminer un volume précis. Cette méthode de calcul doit utiliser un logiciel spécifique ou certains calculateurs scientifiques pour donner une réponse numérique. En utilisant ces outils, une équation spécifique à chaque regard pour différente envergure d’engorgements peut être dérivée. L’utilisation de ces formules permet pour n’importe qui d’obtenir des réponses plus précises qu’avec la ‘‘méthode du cylindre.’’

Quand vous enlevez ou utilisez un engorgement pour former une bouche de 12 pouces de diamètre dans un regard de 48 pouces de diamètre intérieur (ID), il y a peu de différence entre la formule du cylindre et la méthode de calcul, au niveau du volume. Cependant, en changeant la dimension de l’engorgement à 36 pouces de diamètre, tout en conservant le regard de 48 pouces ID, la différence de volume entre la formule du cylindre et la méthode de calcul commence à changer significativement, comme le montrent les exemples suivants :

Exemple 1

Calculer le volume pour une bouche de 12 pouces de diamètre qui sera coulée ou découpée dans un regard de 48 pouces ID avec une épaisseur de paroi de 5 pouces.

Formule du cylindre
Volume = π r
2 h = (3.1416) (6 pouces)2 (5 pouces) = 565.49 pouces3
Méthode de calcul
Stacks Image 162
Volume = 569.2 pouces3
Exemple 2
Calculer le volume pour une bouche de 36 pouces de diamètre qui sera coulée ou découpée dans un regard de 48 pouces ID avec une épaisseur de paroi de 5 pouces.

Formule du cylindre

Volume = π r
2 h = (3.1416) (18 pouces)2 (5 pouces) = 5,089.4 pouces3
Méthode de calcul
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Volume = 5,456.64 pouces3
Stacks Image 201
D’autre part, il existe des bouches d’engorgement fuselées, et il y a une formule de calcul pour celles-ci bien évidemment. Cependant, il est possible d’utiliser une méthode encore plus simple dans ce cas. Si vous avez un engorgement fuselé allant de 24 à 26 pouces de diamètre, choisissez la moyenne des deux – 25 pouces de diamètre – comme option. L’utilisation d’un diamètre moyen produira un volume approximatif précis.

Conclusion
En comparant les résultats des deux exemples, nous pouvons noter la différence de volume qui existe entre la méthode du cylindre et la méthode du calcul. La méthode du cylindre est, et continuera à être, la méthode rapide et facile pour obtenir un volume rapide qui est assez proche de la réalité. Cela dit, la différence véritable en poids entre les deux formules pourrait s’élever à environ 1000 livres (environ 500 kg) en considérant un regard circulaire de 8 pieds avec deux grands diamètres d’engorgement. Or, nous admettons qu’il n’existe pas de différence significative de poids entre les deux formules dans toute la gamme normale des dimensions d’engorgement sur la plupart des dimensions de regard produites. Mais pour ceux qui désirent calculer avec précision combien de béton est retiré au niveau de la bouche d’engorgement, la différence peut sembler plus significative.

Les équations dérivées pour chaque ligne de produit circulaire sont listées ci-dessous. Ces équations délivrent des réponses qui sont très proches de la réalité en volume, mais pas exactes. Elles supportent des réponses qui ont une précision d’environ 1% du volume réel. Par ailleurs, si vous préférez vous referez à un tableau à utiliser sans vous préoccupez de calculs, un tableau de volume précis qui utilise la méthode de calcul est disponible sur la
figure suivante.
Épaisseur estimée de la paroi

48”Ø - 5”

60”Ø - 6”

72”Ø - 7”

84”Ø - 8”

96”Ø - 9”

120”Ø - 11”

144”Ø - 12”
Équations de volumes dérivés

48ӯ y = 0.0394x
3 + 2.2728x2 + 20.337x - 46.043

60ӯ y = 0.0381x
3 + 2.71x2 + 31.02x - 91.24

72ӯ y = 0.0331x
3 + 3.516x2 + 35.409x - 122.6

84ӯ y = 0.0331x
3 + 3.9561x2 + 49.01x - 202.86

96ӯ y = 0.036x
3 + 4.0295x2 + 76.234x - 379.22

120ӯ y = 0.0329x
3 + 5.2785x2 + 102.99x - 635.59

144ӯ y = 0.0294x
3 + 5.8833x2 + 128.6x - 949.62
Références citées
Howard, Rebecca (Becky) M., Faculty Emeritus, Roane State Community College (RSCC). 2011